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Análisis Matemático 66
2025
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
3.9.
Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones.
c) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2} \cos\left(\frac{1}{x}\right) & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
c) $f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2} \cos\left(\frac{1}{x}\right) & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.$
Respuesta
Arrancamos estudiando $\textbf{continuidad}$ en \( x_0 = 0 \):
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Verificamos las tres condiciones necesarias para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 0 \):
a) \( f(0) = 0 \)
b) Calculamos el límite de \( f(x) \) cuando \( x \) tiende a $0$.
$ \lim_{{x \to 0}} x^2 \cos(\frac{1}{x}) = 0 $ (por cero por acotada)
c) El límite cuando $x$ tiende a $0$ existe y vale lo mismo que $f(0)$, por lo tanto, $f$ es continua en $x=0$
Estudiamos ahora $\textbf{derivabilidad}$ en \( x_0 = 0 \):
Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener $f'(0)$, ya que queremos calcular la derivada justo en el $x$ donde la función se parte.
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} \)
En este caso no es necesario abrir por derecha y por izquierda, en ambos casos la expresión que tenemos que usar para $f(0+h)$ es la misma.
$\lim_{{h \to 0}} \frac{h^2 \cos\left(\frac{1}{h}\right) - 0}{h} = \lim_{{h \to 0}} \frac{h^2 \cos\left(\frac{1}{h}\right)}{h} = \lim_{{h \to 0}} h \cos\left(\frac{1}{h}\right) = 0$ (por cero por acotada)
¡Listo! El resultado del límite es $0$, entonces...
\( f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = 0 \)
Esto significa que $f$ es derivable en $x=0$ y $f'(0) = 0$
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lim algo cos(algo/x)
x --> algo
Siempre da cero?
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