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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

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3.9. Estudiar continuidad y derivabilidad en x0x_{0} de las siguientes funciones.
c) f(x)={x2cos⁡(1x) si x≠00 si x=0;x0=0f(x)=\left\{\begin{array}{lll}x^{2} \cos\left(\frac{1}{x}\right) & \text { si } & x \neq 0 \\ 0 & \text { si } & x=0\end{array} ; x_{0}=0\right.

Respuesta

Arrancamos estudiando continuidad\textbf{continuidad} en x0=0 x_0 = 0 :
Verificamos las tres condiciones necesarias para que f(x) f(x) sea continua en x=0 x = 0 : a) f(0)=0 f(0) = 0 b) Calculamos el límite de f(x) f(x) cuando x x tiende a 00. 

lim⁡x→0x2cos⁡(1x)=0 \lim_{{x \to 0}} x^2 \cos(\frac{1}{x}) = 0 (por cero por acotada)

c) El límite cuando xx tiende a 00 existe y vale lo mismo que f(0)f(0), por lo tanto, ff es continua en x=0x=0

Estudiamos ahora derivabilidad\textbf{derivabilidad} en x0=0 x_0 = 0 :

Tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener f′(0)f'(0), ya que queremos calcular la derivada justo en el xx donde la función se parte. f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h}

En este caso no es necesario abrir por derecha y por izquierda, en ambos casos la expresión que tenemos que usar para f(0+h)f(0+h) es la misma. 

lim⁡h→0h2cos⁡(1h)−0h=lim⁡h→0h2cos⁡(1h)h=lim⁡h→0hcos⁡(1h)=0\lim_{{h \to 0}} \frac{h^2 \cos\left(\frac{1}{h}\right) - 0}{h} = \lim_{{h \to 0}} \frac{h^2 \cos\left(\frac{1}{h}\right)}{h} = \lim_{{h \to 0}} h \cos\left(\frac{1}{h}\right) = 0 (por cero por acotada)


¡Listo! El resultado del límite es 00, entonces... 

f′(0)=lim⁡h→0f(0+h)−f(0)h=0 f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = 0 Esto significa que ff es derivable en x=0x=0 y f′(0)=0f'(0) = 0
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